Rappels de mécanique classique
Force centrale
Repère barycentrique
Propriétés des mouvements à force centrale
Conservation du moment cintétique
Conservation de l'énergie
Problème de Kepler
Expression de l'énergie potentielle newtonienne
Equation de la trajectoire
Etude particulère de l'état lié
Application des lois de Kepler au système solaire et aux satellites artificiels

Le mouvement d'un point matériel A soumis à une force centrale est celui pour lequel la force passe par un centre O. Lorsque cette force dérive d'un potentiel (ou d'une énergie potentielle E_p), un tel mouvement est caractérisé par une énergie potentielle qui ne dépend que de la norme r du vecteur position r, soit :

L'importance de ces forces est considérable car leur étude concerne à la fois les interactions gravitationnelles, électromagnétiques et fortes. Nous étudions plus en détail le cas

L'intérêt d’un tel repère repose sur la réduction du problème à deux corps A₁ et A₂ de masse m₁ et m₂, à un problème à un corps A de masse m, soumis de la part du centre de masse C de ces deux points à la force d'interaction de ces deux points, portée par le vecteur qui les relient.

La quantité totale du système dans un référentiel R, supposé galiléen, d'origine O, est définie par :

On appelle référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse, le référentiel R_G en translation par rapport à R et tel que la quantité de mouvement du système soit nulle, . Comme , on en déduit que et que par conséquent, le centre de masse est immobile dans RG.

Soit deux points A₁ et A₂ affectés respectivement des masses m₁ et m₂.

soit

et

Dans R_G, la norme de la quantité de mouvement de chacune des particules est égale à celle d'une particule fictive A de masse m et de vitesse v.

L'énergie cinétique du système est la somme des énergies cinétiques des deux particules dans le R.B :

qui correspond à l'énergie cinétique d'une particule A de masse réduite m et de vitesse réduite v.

L'énergie potentielle du système est la somme des énergies potentielles des deux particules dans le R.B. En supposant des forces conservatives et un potentiel radial, l'énergie mécanique totale E_m s'écrit :

C'est l'énergie mécanique d'une particule de masse m animée d'une vitesse v.

Intéressons-nous ensuite aux équations du mouvement dans le référentiel R_G, en supposant qu’il existe une force d’interaction entre A₁ et A₂. Soit la force appliquée par le point A₂ sur le point A₁. On a, d’après le principe fondamental de la dynamique :

Tout se passe comme si la particule de masse m était soumise à la force centrale puisque portée par r. La particule A est généralement différente des particules A₁ et A₂.

Il suffit alors de déterminer le mouvement de A par rapport à C dans le référentiel R_G puis d’en déduire celui de A₁ et de A₂ également dans R_G. Cela fait,  par simple composition des mouvements , on repasse dans  R puisque R_G se déplace à vitesse constante dans R.

L’essentiel des problèmes que nous aborderons concernent des masses telles que de sorte que . Dans ce cas,

soit

        et           

La particule fictive A est confondue avec A₂ et A₁ coïncide pratiquement avec le centre de masse C du système.  Cela veut également dire que R_G et R sont confondus.

Pour la suite du cours, on déterminera simplement le mouvement dans le référentiel barycentrique de centre O () des deux points A₁ et A₂, c'est-à-dire la trajectoire de la particule fictive A de masse réduite m.

La force étant centrale, son moment au centre O est nul. Donc, le moment cinétique en O de la particule A, de masse m, dans le référentiel galiléen R, est constant, soit :

ou encore

d'où

Ce qui implique que le plan normal à L₀ qui contient OA et v_A est constant. La trajectoire est donc plane. Retenons donc que le mouvement d'un point matériel soumis à une force centrale est plan.

Dans la suite, par souci de simplification, on choisit l'axe Oz du référentiel R suivant L₀ et on notera Oxy le plan dans lequel s'effectue le mouvement. En coordonnées polaires,

D'où :

    avec    

Pour des raisons historiques, on exprime parfois la conservation du moment cinétique à l'aide de la constante des aires

qui n'est autre que le moment cinétique par unité de masse, ou à l'aide de la vitesse aréolaire v_a

Cette relation représente l'intégrale première du mouvement.

Exprimons, en coordonnées polaires, la conservation de l'énergie mécanique de ce point matériel soumis à une force dérivant de l'énergie potentielle :

donne

qui est l'intégrale première de l'énergie.

En introduisant le carré de la norme du moment cinétique L² et l'énergie potentielle effective :

avec 

On désigne par problème de Kepler le cas où l'interaction est newtonienne ou coulombienne.

de la forme

Une interaction est newtonienne si la force F d'interaction est en  :

 K étant positif ou négatif suivant que la force est répulsive ou négative. Rappelons que le travail élémentaire  est :

soit

L'énergie potentielle est nulle à l'infini (hypothèse), ce qui entraîne une constante nulle. D'où :

L'énergie potentielle effective peut être positive ou négative :

selon que K est positif ou négatif. Cela correspond aux états libres ou liés de la particule soumis à ce potentiel.

 Pour déterminer la trajectoire, on doit utiliser la loi fondamentale de la dynamique ou ses conséquences. Utilisons par exemple les formules de binet ou la conservation de l'énergie mécanique (on rappelle que les forces mises en jeu sont conservatives et que l'on peut par conséquent utiliser cette propriété).

Les formules de Binet donnent les expressions de v_A et a_A du point A en fonction des variables et q. En coordonnées polaires, on a :

En exprimant  en cordonnées , on obtient alors :

L'application du PFD donne alors l'équation différentielle à laquelle satisfait u.

On peut également trouver l'équation de la trajectoire à paritr de la conservation de l'énergie. On a:

Comme et compte tenu des résultats précédents. On obtient :

En dérivant par q, on obtient :

soit

en introduisant la quantité homogène à une longueur et () selon que la force est répulsive ou attractive. L'équation différentielle obtenue est du second ordre. La solution générale est la somme de la s.s.s.m et d'une solution particulière :

en posant , on obtient :

Cette équation représente en coordonnées polaires une conique dont le centre O est l'un des foyers, p le paramètre de la conique et e l'excentricité.

Reprenons l'expression . Avec celle de u ci-dessus, on obtient :

ou

Cas répulsif (K > 0)

Dans le cas , r s'écrit :

Puisque , on a . Le dénominateur peut donc s'annuler pour et donner un rayon infini.

Cas attractif (K < 0)

Dans le cas , r s'écrit :

On distingue alors les états libres des états liés.

Les états libres sont tels que ().

Les états liés sont tels que ou

Les trois figures représentent les différents cas possibles.

Nous avons vu que les conditions d'un mouvement elliptique sont telles que la force doit être attractive et l'énergie mécanique négative mais supérieur à la valeur minimale E₀ de l'énergie potentielle effective :

v₀ et r₀ étant respectivement la vitesse et la position initiales.

L'équation polaire de la trajectoire montre que sur l'ellipse de grand axe 2a :

,        et     

avec , soit :

La distance du centre de l'ellipse W au centre de force O est appelé distance focale et vaut :

soit

Enfin,

où b représente le demi-petit axe de l'ellipse.

Dans le système d'axes WXY, l'équation polaire s'exprime par ::

soit après transformations :

C'est l'équation d'un ellipse.

Comme , il vient :

L'énergie mécanique ne dépend que du grand axe de l'ellipse décrite.

La vitesse aréolaire étant constante, la durée mise par un point A pour parcourir l'ellipse est une constante :

en remarquant que et .

On obtient ainsi :

Le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'ellipse.

L'équation définissant l'énergie cinétique donne :

ou encore

Donc la vitesse est maximale au périgée (point le plus proche du centre O) et minimale à l'apogée (point le plus éloigné).

Si  , l'ellipse se réduit à un cercle de centre O et de rayon r₀ correspondant au minimum de l'énergie potentielle effective :

et

Comme

on a :

        soit        

D'où :

On retrouve ainsi une relation entre E_p, E_c et E_m caractéristique du mouvement circulaire dans le problème de Kepler.

Ces lois sont au nombre de trois.

Le soleil est ainsi assimilé comme le centre attractif fixe O dans le référentiel R. La masse de chaque planète est négligeable par rapport à celle du Soleil . Ce qui revient à considérer uniquement les interactions Soleil-Planètes . Le problème à N planètes est réduit à N problèmes à deux corps, ce qui induit des trajectoires elliptiques.

Le moment cinétique étant constant au cours du temps, la vitesse aréolaire est constante, ce que traduit la deuxième loi.

Quant à la troisième, elle découle directement de l'expression de la période:

soit en négligeant la masse de la planète devant celle du soleil :

C.Péré. Esiea-ouest